משפט דיני

משפט דיני הוא משפט מתמטי בתחום האנליזה המתמטית, העוסק בהתכנסות נקודתית של סדרה מונוטונית של פונקציות, או של טור פונקציות אי-שליליות. המשפט נקרא על שמו של אוליסה דיני (Ulisse Dini), מתמטיקאי ופוליטיקאי איטלקי שחי במאה ה-19 ובמאה ה-20. משפט זה הוא דוגמה טובה למקרה בו התכנסות נקודתית, תכונה חלשה יחסית, גוררת התכנסות במידה שווה, שהיא תכונה חזקה הרבה יותר. התכונה נגררת עקב המונוטוניות של סדרת הפונקציות.

ניסוח המשפט

• עבור סדרת פונקציות:

תהי $\ \lbrace f_{n}\rbrace \rightarrow f$ סדרה מונוטונית של פונקציות (כלומר, לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $\forall x\in X:\ f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ או $\forall x\in X:\ f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)$) המוגדרות בקטע סגור $X$, רציפות המתכנסות נקודתית ל-$\ f$, שגם היא רציפה בקטע. אזי ההתכנסות היא במידה שווה.

• עבור טורי פונקציות:

תהי $\ f_{n}(x)\geq 0$ סדרת פונקציות רציפות אי שליליות, והטור $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס נקודתית לסכום $\ S(x)$ שגם הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.

יש לשים לב כי דרישת הרציפות של הפונקציות וכן של פונקציית הגבול, הכרחית. על מנת להדגים את הכרחיות הדרישה כי פונקציית הגבול תהייה רציפה, ניתן להסתכל על סדרת הפונקציות $\ f_{n}(x)=x^{n}$ בקטע $\ [0,1]$. בסדרה זו מתקיים $\forall x<1\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$, אך בנקודת הקצה הגבול הוא $\lim _{n\to \infty }f_{n}(1)=1$ ולכן פונקציית הגבול אינה רציפה, וקל לראות שההתכנסות איננה התכנסות במידה שווה.

הוכחת המשפט

יהי $\varepsilon >0$, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי הסדרה $f_{n}\left(x\right)$ יורדת לכל $x\in X$. אזי $f\left(x\right)\leq f_{n}\left(x\right)$ לכל $n\in \mathbb {N}$, ולכן מספיק להראות כי קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ ולכל $x\in X$ מתקיים: $f_{n}\left(x\right)<f\left(x\right)+\varepsilon$. נתון כי מתקיימת התכנסות נקודתית, כלומר $f_{n}\left(x\right)\rightarrow f\left(x\right)$, ולכן לכל $x\in X$ קיים $N\left(x\right)$ עבורו מתקיים $f_{N\left(x\right)}\left(x\right)<f\left(x\right)+\varepsilon$. אבל $f_{N\left(x\right)}\left(x\right)$ רציפה, ולכן קיימת סביבה פתוחה כלשהי של $x$, $U\left(x\right)\subseteq X$, כך שאי השוויון הנ"ל מתקיים בכל הסביבה. וממונוטוניות הסדרה נסיק כי לכל $n\geq N\left(x\right)$ ולכל $y\in U\left(x\right)$ מתקיים:$$0\leq f_{n}\left(y\right)-f\left(y\right)\leq f_{N\left(x\right)}\left(y\right)-f\left(y\right)<\varepsilon$$ ברור כי $X\subseteq \bigcup _{x\in X}U\left(x\right)$, שכן לכל $x\in X$ מתקיים בפרט $x\in U\left(x\right)$, אבל ממשפט היינה-בורל $X$ הוא קומפקטי, ולכן לכיסוי זה קיים תת-כיסוי סופי. כלומר, קיימים $x_{1},...,x_{k}\in X$ כך ש-$X\subseteq \bigcup _{i=1}^{k}U\left(x_{i}\right)$. ולכן אם נבחר $N=\max \left\{N\left(x_{1}\right),...,N\left(x_{k}\right)\right\}$ יתקיים לכל $n\geq N$ ולכל $x\in X$:$$0\leq f_{n}(x)-f(x)<\varepsilon$$

קישורים חיצוניים

• משפט דיני, באתר MathWorld (באנגלית)